结构稳定分析漫谈03负刚度法及欧拉压杆初

结构稳定分析漫谈01—稳定问题初探

结构稳定分析漫谈02：高山瀑布中蕴含的稳定计算方法

刚度概念的推广

在讲压杆稳定之前，我们先对刚度概念进行一下扩展：一切结构力学问题最终都是力(F)与变形(Δ)的问题，刚度K=F/Δ，F可以为轴力、剪力、弯矩，Δ与之对应分别为轴向位移、剪切角、弯曲角，K最直接的意义是在力的方向上的位移，刚度可以有很多分类，如构件层面抗弯刚度、抗剪刚度、拉压刚度、抗扭刚度，结构层面的层侧移刚度、顶点侧移刚度。如下面左图所示：

两端铰结构件中点的水平刚度K为F/Δ，上面右图两层刚架左上顶点的水平刚度K也是F/Δ，但下面杆件所示受力情况和上面两种有着明显的不同，见下图：

这个杆件除了中点处与位移Δ同方向的力F外，增加了一个沿杆轴方向的压力P，因为在变形后两个力在杆件中点引起的变形方向相同，所以中点变形Δ会大于没有压力P时的变形。如果我们把力P看作体系固有的一部分，则其中点在F作用下的水平刚度由于力P的影响将变小，同样道理上端点在力P作用点的竖向刚度也由于F的存在而减小，在这个例子中，一个方向的刚度由于与之正交方向另一个的力的影响而减小。

这样我们就把刚度的概念由不受力时的刚度扩展到了事先受到其它力作用时的广义刚度，不受力时的初始刚度用表示（就是常规意义的刚度，在弹性阶段就是弹性刚度），受力后的总刚度用表示，我们用两者之差定义一下新术语，称为几何刚度或者应力刚度（这样命名是因为仅取决于轴力与节点几何坐标，与弹性模量、惯性矩无关），用来表示杆件由于轴力作用使侧移刚度降低或者提高的部分，当轴力为压力时为负（理由见上面压杆），当轴力为拉力时为正，可由下图说明，两个壮汉用绳子拉着一个重物，他们用力越大重物向下位移Δ越小，说明拉力增大了绳子中点处竖向位移对应的刚度。

广义刚度概念理解失稳

稳定问题可以用轴力对刚度的影响来解释，当竖向力P由0增加时，构件中点的侧移刚度逐渐减小，当P增大到使压杆失稳的临界值时，此时中点的侧移刚度减小到0，原因是此时没有水平力F压杆也可以在变形位置保持平衡，相当是F=0使杆件中点发生了位移Δ，=0/Δ=0，由于初始轴压力的存在导致了杆件失稳的发生，因此失稳可以理解为总刚度变为0，咱们考虑杆件在弹性阶段失稳，弹性刚度为常量，而，所以。见下图压杆刚度-轴力关系图：

横坐标为直杆轴压力，正纵坐标为弹性刚度，它是一个固定值，取决于E、I与节点坐标，负纵坐标为几何刚度，轴力为压力时为负值，因为小变形时力与力产生的效应成正比，所以其正比于轴力，两个刚度之和为，斜线为总刚度曲线，与轴力为线性关系。用总刚度为0去理解失稳，这个概念简单清晰，可以帮助我们理解各种复杂的失稳问题。

我们还可以从最小势能原理来理解，设初始状态各项势能均为0，变形后变形能为U，P作用点竖向位移为δ，变形状态的总势能由三项之和组成，即：

P·δ+?F·Δ+U

由前述可知，P力达到使压杆失稳临界值时，无需施加力F即可在变形状态保持平衡，（P·δ+U）之和等于0，与初始总势能相等，满足失稳条件，而当存在F时增加了一项负势能，因此总势能小于初始状态，意味着早已失稳不再是平衡状态了。

在两个力同时作用下我们使压杆变形形状与仅力P作用下相同，则U值不变，将P改为则其产生的负势能为，差额的需要由F产生，数值为，此时侧移刚度，这就验证了总刚度和轴力成线性关系，但是大家要注意这个结论在小变形时成立，大变形时为非线性关系。

轴力作用下用总刚度概念去判断失稳这种方法非常直观，易于理解，可以帮助我们定性的去理解稳定问题，在某些情况下甚至可以得到相当精确的量化结果。

欧拉压杆屈曲的物理意义

我们研究问题都是从简单到复杂，从理想情况到实际问题，首先我们来考查欧拉压杆，即研究两端铰接挺直杆当轴力达到多大时开始失稳（设其无压缩与剪切变形，只有弯曲变形，这样简化误差很小），我们

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