范恩贵十余载RiemannHilber
年,在国际数学家大会上,著名数学家Hilbert提出著名的23个数学问题,其中第21个问题称为Riemann-Hilbert(RH)问题.年,Plemelj对RH问题作出肯定回答.年,苏联数学家Bolibruch对RH问题举出反例.尽管RH问题在一般情况下不成立,但在解决问题过程中所建立的概念与方法已经发展成为解决一大类纯粹和应用数学问题的强有力的分析工具——RH方法,被广泛应用于可积系统、正交多项式理论、随机矩阵理论等领域,形成了国内外数学领域的研究热点和前沿领域之一.
自年,作者带领复旦大学博士研究生开展RH方法在可积系统、正交多项式、随机矩阵理论中应用研究.近年来,国内可积系统界很多年轻学者也陆续转向这些领域研究,但目前只有美国纽约大学Deift院士出版了关于RH方法研究随机矩阵的一本书,而这本书起点高,至今还没有RH方法在可积系统应用方面的书籍.因此,有必要编写一本起点低、自封性强、系统完整的学习书籍;另外,国内虽然有几本反散射方面的著作,但都没专门讲述RH方法和方法,这方面空白也有必要填补.基于这种目的,作者根据在复旦大学的教学和科研经验,编写了本书.
考虑大部分学生是硕博连读,大学本科知识是真正的起点,为保持教材的自封性,本书补充了学习RH方法所需要的基础知识,而对于RH方法应用中的关键技术,以及学生理解困难的地方,作者给出了详细严格推导.虽然这样做,对数学基础好的学生,显得叙述啰嗦、表达不够精炼等,但对于大学知识起点入门的新学生是非常必要的,可以避免学生因为遇到困难望而却步,以及因为在某些关键地方卡住,而失去学下去的信心.按照知识点和叙述的前后顺序考虑,全书分为15章,主要内容如下:
第1章,首先介绍RH问题的起源、发展和实施的步骤;之后,重点阐述RH方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵理论三个方向的研究概况和最新进展;同时分析了RH方法与反散射变换、穿衣方法的区别和联系,以及各自的应用范围.
第2章,介绍用矩阵RH方法研究可积系统、正交多项式和随机矩阵过程中,经常遇到矩阵的范数、矩阵函数的导数和积分、矩阵级数的收敛性等,这方面内容一般不包括在大学线性代数教材中,因此,对矩阵分析初步的基础知识做了简单的补充和介绍.
第3章,因为RH问题本身是复问题,所以复分析工具必不可少,为此,本章介绍后续所需要的基础知识,包括Cauchy积分、共形映射、Plemelj公式、标量RH问题、矩阵RH问题和速降法等.
第4章,广义函数是现代数学和物理的重要分析工具,在后续随机矩阵理论和方法中都要涉及,为此,本章补充介绍了广义函数的基本定义、性质和随机矩阵特征值分布和偏微分方程基本解、Peakon解等方面的一些应用.
第5章,以零边界的聚焦NLS方程为例,详细介绍用RH方法构造可积系统的N孤子解的主要方法和技巧,包括两个标准步骤:首先通过特征函数的解析性和对称性,将NLS方程初值问题转化为RH问题,然后求解RH问题得到NLS方程的N孤子解.
第6章,以非零边界的聚焦NLS方程为例,详细介绍用RH方法构造带有非零边界可积系统N孤子解的主要方法和技巧;这里与零边界有本质的区别,在求解渐近谱问题时,会遇到多值函数,需要引入单值化参数,在新的谱参数复平面上讨论RH问题.最后,在前面结果基础上,再进一步介绍构造带有非零边界NLS方程的双重极点解.
第7章,首先介绍-问题的概念和性质,包括广义Cauchy积分定理、广义Cauchy-Green公式、-问题的一般解;然后给出-方法在构造1+1维和高维可积系统的Lax对、方程族和精确解方面的应用.
第8章,以散焦NLS方程初值问题为例,详细介绍在Schwartz空间初值条件下,用Deift-Zhou非线性速降法,研究可积系统初值问题的长时间渐近性的主要方法和技巧,首先将NLS方程初值问题转化为RH问题,然后对得到的RH问题通过一系列形变,化为可解的RH问题,从而得到NLS方程初值问题解的长时间渐近性估计.
第9章,以散焦NLS方程初值问题为例,详细介绍在加权Sobolev空间初值条件下,用-速降法研究可积系统初值问题在无孤子解区域中的长时间渐近性的方法和技巧,首先将NLS方程初值问题转化为RH问题,通过散射数据连续延拓,得到一个混合RH问题,并进一步分解成纯RH问题和一个纯-问题,纯RH问题可用抛物柱面模型逼近,纯-问题控制误差.与上述Deift-Zhou非线性速降法相比,-方法更简单,得到的结果误差更小.
第10章,以聚焦NLS方程初值问题为例,在加权Sobolev空间初值条件下,用-速降法研究可积系统初值问题在有孤子解区域中的长时间渐近性的方法和技巧,所得到解的长时间渐近性估计分为三部分,有限孤子解、色散部分和误差项.
第11章,正交多项式是研究随机矩阵的重要工具,作为基础知识,这一章详细介绍正交多项式的定义、基本性质、与Jacobi算子的联系,以及与RH问题的联系.
第12章,详细介绍随机矩阵的一些概念和性质,包括系综、特征值的分布、联合概率密度、间隙概率、关联核的普适性、随机矩阵与正交多项式和RH问题的联系等.
第13章,平衡测度是正交多项式零点或者随机矩阵特征值的极限分布,在正交多项式和随机矩阵研究中起着作用,本章介绍平衡测度的存在性及如何计算平衡测度.
第14章,特殊函数在正交多项式和随机矩阵理论研究中起着重要作用,这一章介绍一些常用特殊函数的性质、渐近展开和与RH的联系.
第15章,以Gauss型系综为例,详细介绍用Deift-Zhou非线性速降法研究正交多项式一致渐近性的主要方法和技巧,并进一步证明了关联核、Fredholm行列式的普适性.
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科学出版社
内容简介
本书以反散射理论、Riemann-Hilbert方法、Deift-Zhou非线性速降法和速降法为分析工具,系统阐述这些方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵理论方面的应用.主题部分取材于Deift、McLaughlin、Biondini、Jenkins等一些学者近年来最新前沿成果.内容主要包括Riemann-Hilbert方法与Schrdinger方程的零边界和非零边界求解；Deift-Zhou非线性速降法与mKdV方程的长时间渐近性；速降法与Schrdinger方程在孤子区域的长时间渐近性；正交多项式和随机矩阵的渐近性分析.
本书可作为数学系、物理系研究生教材,也可作为高年级本科生学习非线性方程求解和渐近分析、正交多项式和随机矩阵渐近分析的教材,亦可作为有关科技工作者从事科研的实用参考书.
目录速览
《现代数学基础丛书》序
前言第1章绪论11.1RH问题11.1.1RH问题的产生和发展11.1.2RH方法和思想21.2RH方法在可积系统初值问题应用状况31.2.1求解可积系统方面41.2.2分析解的渐近性方面71.2.3RH方法、反散射和方法比较.3在正交多项式和随机矩阵应用状况10第2章矩阵分析初步.1矩阵范数.2矩阵序列和级数.3矩阵的导数和积分.4张量积和外积.5矩阵特征值估计24第3章复分析和RH问题.1Jordan定理.2解析变换.2.1保域性.2.2保角性.3共形映射.4Cauchy积分定理和Painlevé开拓定理.5Cauchy主值积分和Plemelj公式.5.1Cauchy主值积分.5.2Cauchy主值积分存在性.5.3Plemelj公式.6Laplace积分.7最速下降法.7.1速降方向.7.2稳态相位点和速降线.7.3复积分的渐近估计与应用.8矩阵RH问题.9积分型Taylor公式53第4章广义函数及其应用.1广义函数的定义.1.1历史概述.1.2基本空间.2广义函数的性质.2.1广义函数方程67第5章RH方法求解零边界的NLS方程.1聚焦NLS方程.1.1特征函数.1.2渐近性.2解析性和对称性.2.1解析性.2.2对称性.3相关的RH问题.3.1规范化RH问题.3.2RH问题的可解性.4NLS方程的N孤子解.4.1矩阵向量解的时空演化.4.2N孤子解公式.4.3单孤子解86第6章RH方法求解非零边界的NLS方程.1非零边界问题.2NLS方程的Lax对.3Riemann面和单值化坐标.4Jost函数的解析性、对称性和渐近性.4.1Jost函数.4.2μ±的依赖性.4.3μ±和S(z)的解析性.4.4μ±和S(z)的对称性.4.5μ±和S(z)的渐近性6.5相关广义RH问题.6离散谱和留数条件.7RH问题的可解性.7.1重构公式.7.2迹公式和θ条件.7.3无反射势情况.8NLS方程的N孤子解.9带有非零边界的NLS方程的双重极点解.9.1双重极点的离散谱和留数条件.9.2双重极点下的RH问题和重构公式.9.3迹公式和相位差.9.4无反射势情况和双重极点解第7章方法与可积系统.1问题.1.1问题的概念.1.2广义Cauchy积分定理7.1.3广义Cauchy公式.1.4算子的Green函数.1.5求解问题.1.6问题与RH问题的联系.2ZS谱问题和NLS方程族.2.1问题和Lax对.2.2推导方程族.2.3构造孤子解.2.4谱问题的规范等价性.3WKI谱问题和mNLS方程族.3.1WKI谱问题.3.2mNLS方程族.3.3孤子解.3.4规范等价性.4非局部问题和2+1维可积系统.4.12+1维谱问题.4.22+1维演化方程.4.3递推算子.5方法求解KPII方程.5.1特征函数和Green函数.5.2散射方程和问题.5.3反谱问题第8章Deift-Zhou速降法分析NLS方程的渐近性.1散焦NLS方程的特征函数.2解析性和对称性.3相关RH问题.4稳态相位点和速降线8.5跳跃矩阵上下三角分解.6散射数据的有理逼近估计.7振荡RH问题到标准RH问题形变.7.1跳跃矩阵的解析延拓.7.2RH问题的有理逼近.7.3RH问题的尺度化.7.4去除RH问题的振荡因子.7.5对RH问题取极限.8预解算子的一致有界性.9标准RH问题.10求解标准RH问题.10.1Weber方程.10.2NLS方程初值问题解的渐近性第9章速降法分析NLS方程在非孤子解区域中的渐近性.1散焦NLS方程的RH问题.2跳跃矩阵三角分解.3散射数据的连续延拓.4混合RH问题.5纯问题及其解的渐近性.6散焦NLS方程的长时间渐近性附录可解的矩阵RH问题第10章速降法与NLS方程在孤子区域中的渐近性.1初值问题的适定性和解的整体存在性.2Lax对和谱分析.3聚焦NLS方程的RH问题.4跳跃矩阵三角分解.5跳跃矩阵的连续延拓10.6混合RH问题及其分解.6.1混合RH问题.6.2混合RH问题分解.7纯RH问题及其渐近性.7.1外部孤子解区域.7.2内部非孤子解区域.8纯问题及其解的渐近性10.9聚焦NLS方程的孤子解区域长时间渐近性附录可解的矩阵RH问题第11章正交多项式.1正交多项式基本概念.2正交多项式的性质.2.1三项递推公式31.2.2Darboux-Christoffel公式.2.3Hankel行列式表示11.3正交多项式与Jacobi矩阵.3.1正交多项式与Jacobi矩阵联系.3.2正交多项式零点分布.4正交多项式与RH问题联系.5多重正交多项式第12章随机矩阵.1随机矩阵系综.2.1常见的系综.2特征值的联合概率密度.3随机矩阵与正交多项式联系.3.1关联核函数.3.2m点关联核函数34.4随机矩阵与RH问题联系.5间隙概率.6特征值的间距分布.7随机矩阵与Painlevé方程第13章平衡测度.1变分法.1.1单重积分35.1.2多未知函数.1.3多重积分.1.4条件极值.2平衡测度的定义和存在性.2.1平衡测度的定义.2.2平衡测度的存在性.3计算平衡测度.3.1第一种方法.3.2第二种方法第14章特殊函数与RH问题.1Airy函数.1.1定义和性质.1.2渐近性.1.3Stokes现象.1.4RH问题刻画.2Bessel函数.2.1定义和性质.2.2RH问题刻画.3Painlevé方程.3.1Painlevé性质.3.2PainlevéII方程RH问题刻画第15章正交多项式的RH方法.1正交多项式的RH问题刻画.2规范化RH问题38.3标准RH问题.3.1跳跃矩阵分解.3.2形变跳跃路径.3.3取极限39.4求解标准RH问题.5标准RH问题解的逼近.5.1一般理论.5.2具体应用.6RH问题参数化构造.6.1局部参数化.6.2整体参数化41.7正交多项式的一致渐近性.7.1实轴Imz=0之外.7.2实轴Imz=0上.8随机矩阵统计量的普适性.8.1关联核的普适性.8.2Fredholm行列式的普适性.8.3m点关联核函数的普适性.8.4Ps的渐近性参考文献后记本文编辑：王芳
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